Range

Il primo indice di dispersione è il range, calcolato come la differenza tra il valore massimo e il valore minimo del campione, in simboli xmax−xmin.
Applicando questa formula ai dati degli ospedali otteniamo i seguenti range: ospedale 1 14, ospedale 2 32. Da questi dati può sembrare che i dati dell’ospedale 2 siano distribuiti in maniera più ampia.
Tuttavia, il range prende in considerazione solo i valori estremi, senza considerare tutti gli altri; è una misura poco indicativa e per questo motivo viene utilizzato molto raramente nelle analisi dei dati. Spesso viene indicato giusto per evidenziare il valore minore e quello maggiore del campione.

Varianza

Passiamo ora alla varianza, un altro indici di variabilità (se non l’indice di variabilità per eccellenza, visto il nome…). Ci permette di stabilire quanto i dati si discostino dalla media.
Per calcolare la varianza si fa il rapporto tra la sommatoria degli scarti quadratici medi e la numerosità campionaria sottratta di 1¹, in simboli var(X)=∑ni=1(xi−x¯)2n−1.
In pratica, per ogni valore del campione si sottrae la media da esso, si eleva al quadrato il risultato ottenuto, si sommano tutti i risultati e si divide il tutto per la numerosità campionaria -1.

Vediamo dunque quale è la varianza dei dati per i due ospedali:
Ospedale 1: (93−97.7)2+(97−97.7)2+(94−97.7)2+(102−97.7)2+(105−97.7)2+(99−97.7)2+(94−97.7)2+(100−97.7)2+(102−97.7)2+(91−97.7)29−1=21.3¯
Ospedale 2: (89−102.13)2+(88−102.13)2+(109−102.13)2+(102−102.13)2+(91−102.13)2+(120−102.13)2+(103−102.13)2+(99−102.13)214−1+
(105−102.13)2+(111−102.13)2+(100−102.13)2+(101−102.13)2+(97−102.13)2+(110−102.13)2+(107−102.13)214−1=76.98

Anche in questo caso, il valore dell’ospedale 2 è molto più alto di quello dell’ospedale 1; si può quindi concludere che l’ospedale 1 abbia dei dati che variano di meno l’uno dall’altro rispetto all’ospedale 2.

Tuttavia, ci si trova spesso a dover maneggiare valori molto elevati di varianza (vedi quello relativo all’orspedale 2); per questo motivo è stata introdotta la deviazione standard.

Deviazione standard

La deviazione standard non è altro che la radice quadrata della varianza, in simboli SD(X)=var(X)‾‾‾‾‾‾√=∑ni=1(xi−x¯)2n−1‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

Le deviazioni standard dei valori di glucosio dei pazienti dell’ospedale 1 e dell’ospedale 2 sono 4.62 2 8.77, rispettivamente.

A questo punto, viene più complicato dire che i valori di glucosio dell’ospedale 1 siano significativamente più bassi di quelli dell’ospedale 2, in quanto questi ultimi hanno una grande variabilità.

Coefficiente di variabilità

Ultimo, non per importanza, c’è il coefficiente di variabilità. Questo indice è usato per normalizzare la deviazione standard, in modo tale da poter fare confronti tra campioni la cui media è molto diversa. Non si usa spesso in biologia, però in ingegneria e chimica è spesso calcolato.
Per ottenere il dato normalizzato, si divide la deviazione standard per la media (e spesso si moltiplica per 100 in modo tale da avere un valore espresso in %), in simboli CV=SD(X)x¯∗100.

Con questi dati potremmo dire che il campione 2 ha una variabilità più alta rispetto al campione 1. Vero! Calcolando però il CV troviamo 33.83% per il primo campione e 9.48% per il secondo, in controtendenza con quanto detto poco fa. Questo perchè il coefficiente di variabilità indica in che rapporto stanno i valori di media e deviazione standard.
Questo concetto non è molto immediato, per questo in ambiti come la biologia viene poco utilizzato.

Conclusioni

Oggi abbiamo visto i principali indici di variabilità, tra cui bisogna ricordarsi varianza e deviazione standard. Abbiamo anche iniziato a capire come mai non ci sia una gran differenza tra i valori di glucosio dei pazienti nei due ospedali.
Ci serviranno ancora un paio di concetti prima di comprendere a fondo il perchè di questa affermazione. Abbiate fede, presto li approfondiremo.